ГОШКЕВИЧ И.
О КИТАЙСКИХ СЧЕТАХ
Китайские счеты состоять из продолговатой рамки, разделенной вдоль перегородкою на два неравные отделения, из коих в большем на поперечных спицах нанизано по пяти, а в меньшем по два шарика. Каждая спица с нанизанными на ней семью шариками составляет один ряд. В каждом ряду шарик меньшего отделения равняется пяти соответствующим ему шарикам большего отделения; а каждый ряд имеет значение больше или меньше следующего в десять раз, как и в Русских счетах. Число спиц в Китайских счетах, также как и у нас, бывает не одинаково и определяется огромностию предполагаемых на них выкладок. Таким образом Китайские счеты отличаются от Русских только своим подразделением на пятки.
Располагаясь делать выкладки на счетах, Китаец кладет их перед собою поперег, оборотив к себе большее отделение и отодвинув шарики того и другого отделения к краям рамки, и потом, по мере надобности, или сдвигает их на средину к перегородке разделяющей рамку, или отодвигает назад: в первом случае будет значить положить на счеты а во втором сбросить со счетов. Таким образом, чтобы положить 1, 2, 3 и 4, он подвигает соответствующее число шариков большего отделения от себя, для означения 5 — один шарик меньшего отделения к себе, а так как 6, 7, 8 и 9 состоят из 5 с 1, 2, 3 и 4, то к шарику меньшего отделения придвигается соответствующее число шариков большего. Десятки изображаются на следующей спице к левой руке, за ними сотни и т. д. Итак для обыкновенного счисления достаточно в большем отделении четырех шариков, а в меньшем одного. И потому крайние шарики в обоих отделениях можно бы назвать лишними, как и в Русских счетах каждый десятый шарик — лишний: но Китайский способ деления на счётах представляет случаи, как мы увидим ниже, где эти шарики становятся необходимыми.
Замечательно, что Китайцы, пишущие свои цыфры, как и прочие письменные знаки, сверху вниз, кладут перед собою счеты поперег и выражают на них числа от левой руки к правой; тогда как Русский, выражающий свои числа на бумаге от левой руки к правой, на счетах кладет их сверху вниз (Есть я у Китайцев цыфры, пишущиеся также от левой руки к оравой. Они употребляются вообще торговыми людьми для сокращенного изображения больших чисел и пишутся так: *** (или ***), ***... По моему мнению они суть не что иное, как изображение чисел, положенных на счеты: это особенно очевидно в числах ***, где верхняя продольная черточка означает шарик меньшего отделения, а поперечные черты шарики большего отделения; знак же *** показывает, что в меньшем отделении счетов положен шарик, а в большем — нуль. Только знак *** (4) очевидно изобретен для сокращения четырех черт, а от него произошел и ***. В сложных числах эти знаки пишутся рядом и под первым из них подписывается его достоинство. Так напр. 3308 пишется ***.).
Человеку, привыкшему к употреблению Русских счетов, с первого взгляда покажется, что Китайские счеты, своим подразделением на пятки, делаются гораздо сложнее и потому напрасно только запутывают счисление. Но при первом уроке вся эта видимая запутанность исчезает и глаз привыкает видеть не счет шариков, а символическое изображение числа, подобно изображению на бумаге. Подразделение на пятки дало Китайцам возможность достигать той же цели с меньшим количеством шариков и производить на своих счетах все арифметические действия. Наконец поперечное положение Китайских счетов, частию зависящее от того же подразделения, много помогает быстроте счисления: а это и есть главная задача при употреблении счетов. Искусные Китайские счетчики действуют на счетах четырьмя пальцами правой руки, как на музыкальном инструменте и, без преувеличения можно сказать, берут целые аккорды чисел.
Нельзя положить никаких правил, каким именно пальцем где должно действовать. Обыкновенно большим пальцем передвигают шарики только в большем отделении счетов, а остальными в том и другом. Если например на одной и той же спице нужно положить 5 и сбросить 1, 2, 3 или 4, то это делается одним движением пальца сверху вниз; а чтобы положить 6, 7, 8 или 9, то нужно одним пальцем сверху взять 5, а другим снизу недостающее число единиц. Но главный учитель в этом деле собственное упражнение.
Рассмотрим по порядку, как производятся на китайских счетах первые четыре действия арифметики, так как они служат основанием всем прочим.
Сложение и вычитание.
В Китайских руководствах для действия на счетах нет никаких правил для сложения и вычитания: потому что эти действия, собственно говоря, суть не что иное, как повторение счисления и совершенно зависят от устройства счетов, так что знающий значение каждого шарика может слагать и вычитать без всяких правил. Но для скорости действия можно изложить здесь несколько замечаний, которые впрочем легко приобретаются собственным упражнением.
Прежде всего припомним здесь сказанное уже выше: что крайние шарики на каждой спице в обыкновенном счислении лишние, а потому они не должны быть никогда сдвигаемы с места. По мнению Китайцев, плохой тот счетчик, который в сложении складывает все пять шариков большего отделения, а потом, сбросив их обратно, кладет уже один пяток, или, положив прежде два пятка, потом уже кладет вместо них единицу в высшем ряду: равным образом и тот, кто в вычитании заняв единицу в высшем ряду, кладет вместо ее десять в низшем и потом уже вычитает из них требуемое число. Для избежания этого недостатка и ускорения чрез то самого счисления, обыкновенно берут во внимание так называемоедополнение данного числа, сбрасывая его в сложении и прибавляя в вычитании. Чтобы рассмотреть это дело подробнее мы, на основании устройства Китайских счетов, разделим числа на три разряда:
a) Одни изображаются шариками большего отделения, таковы: 1, 2, 3 и 4,
b) Число 5 выражается шариком меньшего отделения,
c) Наконец 6, 7, 8 и 9 составляются из 5+1, 5+2, 5+3, 5+4.
Отсюда истекают три следующие правила сложения касательно того случая, когда на спице уже положено несколько шариков и остальных (не считая крайних) недостаточно для изображения того числа, которое требуется прибавить.
1. Когда нужно положить 1, 2, 3 или 4 то кладется 5 и сбрасывается дополнение требуемого числа. Дополнением в этом случае называется то число, которое нужно приложить к данному, чтобы вышло число 5: таким образом 1 и 4 служат взаимно дополнением одно другому, равно как 2 и 3. И потому напр. если на спице прежде было число 4 и нужно вновь прибавить 3, то (одним движением пальца) кладется 5 и сбрасывается 2.
2. Если нужно положить 5 на той спице, на которой уже положено 5, или более, то, не обращая внимания на большее отделение счетов, сбрасывается 5 (указательным или средним пальцем) и в высшем ряду прибавляется 1 (большим пальцем), т. е. 10.
3. Когда нужно положить 6, 7, 8 или 9, то не обращая внимания на заключающееся в нем число 5, должно только смотреть, достанет ли на спице шариков для изображения соответствующего ему числа 1, 2, 3 или 4. — a) Если достанет, то кладется это соответствующее число, сбрасывается 5 и кладется 10; b) если же нет, то только сбрасывается его дополнение и кладется 10. Так как 6, 7, 8 и 9 состоят из 5+l, +2, +3, +4, то и дополнение для ник будет тоже, какое и для 1, 2, 3 и 4. Если напр. требуется положить 8 на той спице, на которой уже положено 6, то (указательным или средним пальцем) кладется 3 и сбрасывается 5 в (большим в тоже время) кладется и на следующей спице: получится число 14; чтобы прибавить к нему еще 7, сбрасывается 3 и кладется 1 на высшей спице.
В вычитании, как действии совершенно противоположном сложению, эти правила обратятся таким образом: Если в наличности на спице нет того числа, которое требуется сбросить, то
1. Когда нужно вычесть 1, 2, 3 или 4, сбрасывается 5 и кладется дополнение вычитаемого числа.
2. Когда нужно вычесть 5, то сбрасывается 10 и кладется 5.
3. Когда нужно вычесть 6, 7, 8 или 9, то a) если есть в наличности соответствующее ему 1, 2, 3 или 4, в таком случае оно сбрасывается, кладется 5 и сбрасывается 10, b) если же нет, то кладется его дополнение и сбрасывается 10.
К этим трем правилам мы прибавим еще следующее: во всех случаях, где нужно бывает сбросить единицу на следующей спице, если на этой спице ничего нет, то на ней кладется 9, а единица сбрасывается на следующей за нею.
Собственный навык может указать много других способов ускорять действие. Так напр. если требуется сложить или вычесть 91, 92 и т. д. до 99, то в единицах сбрасывается, или прибавляется дополнение последней цыфры, а в сотнях прибавляется или сбрасывается 1, десятки же оставляются не тронутыми. Но подобного рода правила общи как Китайским, так и Русским счетам.
Умножение.
Китайский способ умножения на счетах имеет только ту особенность, что Китайцы, по мере умножения, сбрасывают цыфры множимого и на место их ставят произведение. Это представляет двойную выгоду. Во первых для умножения не требуется слишком больших счетов: достаточно, если они будут такой величины, что бы можно было положить на них множимое и множителя, и за тем оставалось еще спиц не много побольше того, сколько занимает их множитель. Во вторых, при этом способе нельзя пропустить какую нибудь умножаемую цыфру, или положить произведение не на той спице, на которой должно.
При умножении различаются два случая: состоит ли множитель из одной, или из многих цыфр.
1. Когда множитель состоит из одной цыфры, то на счетах можно класть одно только множимое число. Умножение производится обыкновенным образом, как и на бумаге, начиная с меньшей цыфры, т. е. от правой руки к левой. Умножаемая цыфра тотчас сбрасывается и на месте ее ставятся десятки произведения, а единицы на следующей спице. Отсюда следует, что в произведении все числа подвинутся к правой руке на одну спицу; так что на месте единиц множимого будут стоять десятки, на месте десятков сотни, и т. д. Само собою разумеется, что можно производить умножение и от левой руки к правой точно таким же образом и ставить на месте сброшенной цыфры единицы произведения. В таком случае достоинство каждого ряда останется неизменным: на месте единиц множимого и в произведении будут стоять единицы, на месте десятков — десятки и т. д. Впрочем это обстоятельство не представляет большой важности.
2. Когда множитель состоит из двух или более цыфр, то множимое обыкновенно кладется на левом конце счетов, а множитель на правом. Нужно, чтобы между ними оставалось незанятых спиц по крайней мере одною более, нежели сколько занимает их множитель. Прежде всего помножаются единицы множимого на все цыфры множителя; причем, по произволу, одни начинают умножать высшею, а другие низшею цыфрою множителя, одна сбрасывают множимую цыфру прежде, другие после умножения. Все эти системы умножения имеют у Китайцев особые термины, но они не нужны для сущности дела. Положим, что мы начинаем умножать высшею цыфрою множителя: в таком случае, что бы не смешать множимого с произведением, лучше множимую цыфру тотчас сбросать и место ее оставить не занятым, а на следующей спице класть десятки произведения, происшедшего от умножения сброшенной цыфры на высшую цыфру множителя. Потом, умножая, ее на следующую цыфру множителя, класть десятки этого произведения на той спице, на которой положены единицы прежнего; помножая таким образом все туже цыфру множимого на следующие цыфры множителя, произведение класть одною спицею далее к правой руке. Умноживши единицы множимого на все цыфры множителя, должно таким же точно образом умножать одну за другою и все прочие цыфры его.
Можно прежде помножать единицы множимого на единицы множителя. В таком случае произведение кладется так, чтобы между единицами его и умножаемою цыфрою было столько спиц, сколько в множителе всех цыфр. Потом, помножая единицы множимого на десятки множителя, должно единицы происшедшего от того произведения класть на той спице, на которой положены десятки прежнего, и, таким же образом помножая на прочие цыфры множителя, подвигать произведение на одну спицу к левой руке. Помноживши единицы множимого на все цыфры множителя, сбросить их и точно таким же образом умножать прочие цыфры множимого.
Нет нужды упоминать о том, что если в умножаемых числах будут в средине нули, то произведение следующих за ними цыфр должно класть через столько цыфр, сколько при умножении пропущено нулей.
Умножение на счетах имеет то преимущество пред умножением на бумаге, что в нем самым положением на счеты одно произведение складывается с другим, чем самым и сокращается действие. Но оно напротив имеет ту невыгоду, что нули стоящие на конце на счетах не означаются и оттого при умножении может иногда произойти ошибка, хотя ее легко избежать при небольшом внимании. Помножив напр. 48 на 25 получим на счетах 12.... Но всякой легко вообразит, что, если 10 помноженное 10, дает 100, и 100*100 = 10,000, то 48 на 25 дадут больше 120 и меньше 12,000, следовательно = 1200. Однакоже при больших числах, в особенно с десятичными дробями, подобного рода соображения отнимут не мало временя. А потому лучше во время самого умножения сделать на счетах заметку, напр. сдвинуть на средину оба шарика меньшего отделения на той спице, до которой должно бы доходить произведение последней цыфры множимого на последнюю цыфру множителя.
Если же в одном или в обоих данных числах были на конце нули, то они, по окончании умножения, присчитываются к произведению, как и при умножении на бумаге.
Равным образом для десятичных дробей, если они находились в данных числах, отчисляется на конце произведения столько спиц, сколько было десятичных знаков в множимом и множителе вместе.
Деление.
Китайский способ деления на счетах заслуживает особенного внимания по скорости и простоте действия. По обыкновенному способу деления на бумаге нужно для каждой цыфры делимого найти так называемое частное, и, помноживши его на делителя, произведение вычесть из делимой цыфры, за тем к остатку прибавить следующую цыфру делимого и продолжать действие по прежнему. Китайцы имеют особую таблицу, в которой дается вдруг частное и остаток его и которая поэтому делает ненужным как умножение частного на делителя, так и вычитание происшедшего оттого произведения. Таблица эта составлена таким образом, как будто делимая цыфра предварительно помножается на десять, т. е. 1 на 2 значит тоже, что 10 на 2 и потому = 5. Следовательно в частном числе значение цыфр уменьшается в десять раз.
Таблица деления.
1 дел. на 2 = 5
2 — на 2 = 10
4 — на 2 = 20
6 — на 2 = 30
8 — на 2 = 40
1 дел. на 3 = 3 с 1 (т. е. в частном числе 3 и в остатке 1)
2 — на 3 = 6 с 2
3 — на 3 = 10
6 — на 3 = 20
9 — на 3 = 30
1 дел. на 4 = 2 с 2
2 — на 4 = 5
3 — на 4 = 7 с 2
4 — на 4 = 10
8 — на 4 = 20
1 дел. на 5 = 2
2 — на 5 = 4
3 — на 5 = 6
4 — на 5 = 8
5 — на 5 = 10
1 дел. на 6 = 1 с 4
2 — на 6 = 3 с 2
3 — на 6 = 5
4 — на 6 = 6 с 4
5 — на 6 = 8 с 2
6 — на 6 = 10
1 дел. на 7 = 1 с 3
2 — на 7 = 2 с 6
3 — на 7 = 4 с 2
4 — на 7 = 5 с 5
5 — на 7 = 7 с 1
6 — на 7 = 8 с 4
7 — на 7 = 10
1 дел. на 8 — 1 с 2
2 — на 8 = 2 с 4
3 — на 8 = 3 с 6
4 — на 8 = 5
5 — на 8 = 6 с 2
6 — на 8 = 7 с 4
7 — на 8 = 8 с 6
8 — на 8 = 10
1 дел. на 9 = 1 с 1
2 — на 9 = 2 с 2
3 — на 9 = 3 с 3
4 — на 9 = 4 с 4
5 — на 9 = 5 с 5
6 — на 9 = 6 с 6
7 — на 9 = 7 с 7
8 — на 9 = 8 с 8
9 — на 9 = 10
При делении, как и при умножении, мы рассмотрим два случая, смотря по тому, состоит ли делитель из одной, или из многих цыфр. В том и другом случае делимое число должно располагать на левом конце счетов, начиная со второй спицы; делитель же обыкновенно кладется на последних спицах к правой руке.
1. Деление начинается с высшей цыфры, т. е. от левой руки, и не представляет никакой трудности в том случае, когда делитель состоит из одной цыфры: для этого требуется только знание приведенной выше таблицы. Сбрасывая первую цыфру делимого, на место ее должно ставить частное показанное в таблице, если оно выражено в единицах; десятки же кладется на высшей спице; а остаток, если он показан в таблице, прикладывается к следующей цыфре и вместе с нею опять делится, как и первая цыфра делимого. Если же делимая цыфра будет больше делителя, то сперва от нее отделяется часть равная делителю, или большая против него вдвое или втрое и, по разделении ее, частное, как выраженное в десятках, кладется на высшей спице, а за тем делится остальная часть. Если напр. требуется разделить 225 на 3, то, расположив данные числа на счетах, как сказано выше, делим 2 на 3. В таблице показано 6 с 2, и потому на месте делимой цыфры 2 ставится 6, а остаток 2 прикладывается к следующей цыфре и вместе с нею составит 4. От 4 отделив 3 делим на 3 и получаем = 10, след. к прежним 6 прикладываем еще 1. Далее: 1 на 3 = 3 с 1: на месте делимой 1 ставим 3, а остаток прикладываем к 5; 6 на 3 = 20: 6 сбрасываем, а 2 прикладываем в прежним 3 и получаем в частном 75.
Хотя бы остаток, сложенный с следующею цыфрою, составил и более десяти, то всегда выражается на одной спице и ни в каком случае не переносится на высшую: потому что высший ряд представляет уже не делимое, но частное число. На каждой спице шариков достаточно для выражения 15, а потому только при делителе 9 могут встретиться три случая, в которых число шариков окажется недостаточным, именно, когда случится делить сряду 7 и 9, 8 и 8, или 8 и 9: в первых двух случаях не достанет одного шарика; а в последнем двух. Но это обстоятельство не может представить никакого затруднения; потому что тотчас же нужно будет делить цыфру, изображенную на этой спице, и потому не достающее число шариков легко запомнить. Пусть напр. требуется разделить 6291 на 9:
|
6 на 9 = 6 с 6 |
на месте делимой 6 и в частном остается 6, и остаток 6 приклад. к 2. |
|
8 на 9 = 8 с 8 |
в частном остается 8, а остаток 8 с следующею цыфрою составит 17. Сбрасывая с этой спицы 7 и прибавляя к ним 2 непоместившиеся на ней, составим 9, и делим их прежде: |
|
9 на 9 = 10 |
единица прикладывается к 8 прежним; |
|
8 на 9 = 8 с 8 |
в частном остается 8, а остаток 8 с следующею цыфрою составит 9. |
|
9 на 9 =10 |
К прежним 8 прибавляется 1 и в частном получается 699. |
2. Когда делитель состоит из двух цыфр и более, то действие начинается, как и прежде, делением по таблице первой цыфры делимого на первую цыфру делителя и частное ставится на месте делимой цыфры, а остаток прикладывается к следующей. Потом следующая цыфра делителя помножается на частное и произведение вычитается из следующих двух цыфр делимого и, если есть третья цыфра делителя, то также помножается на частное и произведение вычитается из остатка и третьей цыфры делимого, и т. д. Потом действие опять производится по прежнему: первая цыфра делится, а из прочих вычитается произведение прочих цыфр делителя на частное. Само собою разумеется, что при делении первой цыфры наблюдаются теже замечания, какие представлены выше при делителе с одною цыфрою. Требуется напр. разделить 1118 на 43.
|
1 на 4 = 2 с 2 |
на частное 2 помножается следующая цыфра делителя (2*3 = 6) и произведение вычитается из 31. Первая цыфра остатка 2 опять делится. |
|
2 на 4 = 5 |
Частное помножается на вторую цыфру делителя. |
|
5*3 = 15 |
Произведение 15 из 58 даст в остатке 43. [190] |
|
4 на 4 = 10 |
1 прикладывается к 5. |
|
1*3 = 3 и 3 |
вычитается из последней цыфры без остатка. В частном получится 26. |
Если произведение второй цыфры делителя на частное окажется больше следующих двух цыфр делимого, или произведение второй и третьей цыфры делителя на частное будет более трех цыфр делимого, и т. д. то частное должно уменьшить единицею, а к следующей за ним первой цыфре делимого прибавить число равное первой цыфре делителя и потом следующие цыфры делителя помножать уже на это уменьшенное частное. Если бы произведение опять оказалось больше тех цыфр делимого, из которых его должно вычитать, то опять должно повторить тоже самое действие. Напр. 1204 разделим на 28. 1 на 2 = 5. Но 5*8 = 40, а в делимом следует только 20; и так вместо 5 в частном поставим 4, а к первой цыфре делимого прибавим 2 цыфру равную первой цыфре делителя и получим 4*8 = 32. Вычтя это произведение из 40, имеем в остатке 8; от него отделяем прежде 6 и делим 6 на 2 = 30. На высшей спице ставим 3 и помножаем на 8. В частном получаем 43.
Если та цыфра, которую нужно делить, равна первой цыфре делителя, но следующие за нею меньше следующих цыфр делителя, то на месте делимой цыфры ставится в частном 9, и она прикладывается к следующей за нею цыфре. Требуется напр. разделить 4455 на 45. По таблице следовало бы 4 на 4 = 10; но так как в делителе следует цыфра 5, а в делимом только 4, то на место первой цыфры делимого ставим прямо 9, а к следующей цыфре прибавляем 4: 5*9 = 45, вычтенное из 85 даст в остатке 40. Так как опять первая цыфра делителя равна первой цыфре делимого, но в делимом следует нуль, а в делителе 5, то на место 4 ставится опять 9, а 4 перекладывается на следующую спицу, и потом 9*5 = 45.
Если первою цыфрою делителя будет 1: то цыфра, которую должно будет делить, переносится на высшую спицу, т. е. 1 на 1 = 10, 2 на 1 = 20 и т. д. Потом все действие производится обыкновенным образом. Разделим 137 на 12.
1 на 1 = 10, 1*2 = 2, 2 из 3 = 1.
1 на 1 = 10, 1*2 = 2, 2 — 7 = 5. От 5 берем 4:
4 на 1 = 40, 4*2 = 8, 8 — 10 = 2. От 2 » 1:
1 на 1 = 10, 1*2 = 2, 2 — 10 = 8. От 8 » 6:
6 на 1 = 60, 6*2 =12, 12 — 20 = 8:
Так как остаток опять = 8, то очевидно, что деление не может быть никогда кончено и в частном получится целое с бесконечною дробью 11,41666...
Очень часто может случиться, что одно число на другое не делится без остатка и, как ничто не препятствует делить и самый остаток, то в частном получится целое с десятичною дробью, как мы и видели в предыдущем примере. В таком случае естественно раждается вопрос: какою цыфрою оканчивается целое и начинается — дробь. Если мы обратимся к самому способу деления, какой изложен здесь, то решение этого вопроса представится само собою. Китайская таблица деления, как мы заметили выше, составлена таким образом, как будто делимая цыфра предварительно помножается на 10, или приводится в единицы в десять раз меньше тех, в которых выражено делимое; а потому и частное будет иметь значение в десять раз меньшее. Так как делимое всегда кладется со второй спицы счетов, то и нельзя никогда ошибиться в достоинстве цыфр частного. При делителе об одной цыфре если частное начинается со второй же спицы, то первая цыфра его будет в десять раз меньше первой цыфры делимого; если же частное начинается с первой спицы счетов, то первая цыфра его будет значить тоже самое, что и первая цыфра делимого. Если напр. делимое начиналось с сотен, то в частном сотни будут стоять на первой спице счетов, на второй же десятки, и т. д. Когда делитель состоит из многих цыфр, то каждая цыфра его уменьшает частное в десять раз. Следовательно, если в делимом, первая цыфра означала тысячи, то, при двух цыфрах в делителе, на первой спице счетов будут находиться сотни, при трех, десятки и т. д. Десятичные знаки в делимом числе не берутся во внимание, потому что в частном они еще более уменьшаются, и следственно не могут изменить целого числа. Напротив, каждый десятичный знак в делителе увеличивает частное в десять раз. И так, когда делитель состоит из целого числа с десятичною дробью, или из одной дроби, то должно делить на него делимое число как на целое и по окончании деления уменьшить частное в десять раз на каждую цыфру делителя, но потом опять увеличить в десять раз на каждый десятичный знак или, что тоже, воображая это число написанным на бумаге, запятую, отделяющую целое от дроби, отнести вправо на столько цыфр, сколько в.делителе десятичных знаков. Очевидно, что при целом с дробью мы достигнем того же самого, если вовсе не будем брать во внимание десятичных знаков, но уменьшим только частное в десять раз на каждую цыфру целого числа; при делителе же, состоящем из одной дроби, этот способ предпочтительнее. Разделив напр. 125 на 99 по лучим 1262626...
Принимая делителя за целое, находим, что в частном первая цыфра означает единицы; отнеся потом занятую вправо на два знака, получим 126,2626... Если бы требовалось разделить на 0,0099, то таким же образом мы получила бы 12626,26...
У нас предлагаемо было несколько способов деления на счетах, но все они, сколько мне известно, оказываются неудобными в приложении, потому что нужно бывает действовать или на двух и даже на трех счетах, или на счетах и на бумаге. Главными условиями в этом случае должны быть простота и скорость счисления: а эти условия, по моему мнению, совершенно выполняются Китайским способом деления. Но способ этот — простой и скорый на Китайских счетах — не приложим к нашим по недостатку шариков. Хотя в Китайских счетах находится только по семи шариков на каждой спице, но они, взятые вместе, выражают число 15. Десяти же шариков, как в Русских счетах, вполне будет достаточно только при делителях 2 и 5, а при всех прочих их потребуется от 11 до 17 на каждой спице. И так пока у нас не выдуман способ деления, стольже простой и вместе приложимый к нашим счетам, до тех пор преимущество останется на стороне счетов Китайских.
